Equivalencia e Implicación Lógica

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GUÍA Nº4: EQUIVALENCIA E IMPLICACIÓN LÓGICA 
Elaborada por el Prof.: Guillermo Arraiz. 
 
EQUIVALENCIA LÓGICA: 
 
 Simbología:  
 Significado: “Es equivalente a”. 
 
 
Definición: Sean dos proposiciones P y Q, P será equivalente a Q si y solo sí sus 
columnas finales son iguales. 
 
 Ejemplo: Dadas las proposiciones P: )(~ qp  y Q: )~(~ qp 
 
Solución: Construimos y resolvemos ambas tablas de verdad para comparar sus 
columnas finales, así: 
 
 
 
~ (p  q) (~p  ~q) 
f v v v Fila 1 f f f 
v v f f Fila 2 f v v 
v f f v Fila 3 v v f 
v f f f Fila 4 v v v 
 C.F. C.F. 
 
Como puede observarse, los valores de verdad de las columnas finales son iguales. 
Por lo tanto, se puede concluir que “P es equivalente a Q” ó “PQ”. 
 
Sin embargo, el procedimiento anterior sirve solamente para ilustrar la definición 
de equivalencia lógica. Por lo que, para determinar formalmente si dos 
proposiciones dadas son equivalentes o no, será necesario utilizar el criterio que 
se enunciará a continuación: 
 Criterio del Bicondicional Tautológico: “Sean P y Q dos proposiciones 
dadas, P será equivalente a Q, si y solo si, el bicondicional P Q es 
tautológico”. 
 
 
En otras palabras: 
 
a. Si P Q es una tautología, entonces “P ES EQUIVALENTE A Q” (PQ) 
b. Si P Q es una contingencia o una contradicción, entonces “P NO ES 
EQUIVALENTE A Q” 
 
EJERCICIOS RESUELTOS: 
 
1. Dadas las siguientes formas proposicionales: 
 
P: ]~)[( rqp  y Q: )]~(~[~ qpr  
 
Determine, utilizando el criterio del bicondicional tautológico si PQ. 
 
Solución: 
 
Lo que nos pide el ejercicio es determinar si “P es equivalente a Q” (PQ). Es 
decir: 
)]~(~[~]~)[( qprrqp  
 
Para ello, utilizaremos una tabla de verdad cambiando la equivalencia “ ” por un 
bicondicional , tal como establece el criterio del bicondicional tautológico así: 
 
)]~(~[~]~)[( qprrqp  
 
Ahora, planteamos y resolvemos la tabla de verdad correspondiente: 
 
Nº de filas: 23= 8 filas. 
 
[(p  q)  ~r]  [~r  ~ (p  ~q)] 
v v v f f v f f v v f f Fila 1 
v v v v v v v v v v f f Fila 2 
v f f f f v f f f v v v Fila 3 
v f f f v v v f f v v v Fila 4 
f v v f f v f f v f f f Fila 5 
f v v v v v v v v f f f Fila 6 
f v f f f v f f v f f v Fila 7 
f v f v v v v v v f f v Fila 8 
 (a) (e) (c) C.F (d) (f) (b.1*) (b) 
 
 
NOTA: En este caso la columna final SIEMPRE, será el bicondicional asociado a 
la equivalencia lógica de estudio. 
 
Finalmente, como se puede observar TODA la columna final (C.F) es verdadera, 
por lo tanto se concluye que: “Por ser una TAUTOLOGÍA, P es equivalente a 
Q (PQ)” 
 
 
2. Dadas las siguientes formas proposicionales: 
 
P: )]()[(~~ rqpr  y Q: )](~[~ rpq  
 
Determine, utilizando el criterio del bicondicional tautológico si PQ. 
 
Solución: 
 
Lo que nos pide el ejercicio es determinar si “P es equivalente a Q” (PQ). Es 
decir: 
)](~[~)]()[(~~ rpqrqpr  
 
Para ello, utilizaremos una tabla de verdad cambiando la equivalencia “ ” por un 
bicondicional , tal como establece el criterio del bicondicional tautológico así: 
 
)](~[~)]()[(~~ rpqrqpr  
 
Ahora, planteamos y resolvemos la tabla de verdad correspondiente: 
 
~ [(~r  p)  (q  r)]  [~q  ~ (p  r)] 
f f f v v v v v v f f f v v v Fila 1 
f v v v v v f f v v f f v v f Fila 2 
v f f v f f f v f f f f v v v Fila 3 
f v v v v f f f v v f f v v f Fila 4 
f f f f v v v v v f f f f v v Fila 5 
V v f f f v f f v v v v f f f Fila 6 
v f f f f f f v f f f f f v v Fila 7 
v v f f f f f f v v v v f f f Fila 8 
(a) (d) (b) C.F (e) (c.1*) (c) 
 
 
(d.1*) 
 
 
NOTA: Al igual que en el ejercicio anterior la columna final SIEMPRE, será el 
bicondicional asociado a la equivalencia lógica de estudio. 
 
Finalmente, como se puede observar la columna final (C.F) contiene ambos 
valores de verdad (verdaderos y falsos). Por lo tanto se concluye que: “Por ser 
una CONTINGENCIA, P es no equivalente a Q”. 
 
 
 
IMPLICACIÓN LÓGICA: 
 
 Simbología:  
 Significado: “Implica lógicamente a”. 
 
Para determinar formalmente si existe una implicación lógica entre dos 
proposiciones, será necesario utilizar el criterio que se enunciará a continuación: 
 
 Criterio del Condicional Tautológico: “Sean P y Q dos proposiciones 
dadas, P será equivalente a Q, si y solo si, el condicional P Q es 
tautológico”. 
 
En otras palabras: 
 
a. Si P Q es una tautología, entonces “P IMPLICA LÓGICAMENTE A Q” 
(PQ). 
b. Si P Q es una contingencia o una contradicción, entonces “P NO 
IMPLICA LÓGICAMENTE A Q”. 
 
 
EJERCICIOS RESUELTOS: 
 
1. Dadas las siguientes formas proposicionales: 
 
P: ])~[(~ rpq  y Q: )]([~ qpr  
 
Determine, utilizando el criterio del condicional tautológico si PQ. 
 
 
 
 
 
Solución: 
 
Lo que nos pide el ejercicio es determinar si “P implica lógicamente a Q” 
(PQ). Es decir: 
)]([~])~[(~ qprrpq  
 
Para ello, utilizaremos una tabla de verdad cambiando la implicación lógica “ ” 
por un condicional , tal como establece el criterio del condicional tautológico 
así: 
)]([~])~[(~ qprrpq  
 
Ahora, planteamos y resolvemos la tabla de verdad correspondiente: 
 
[(~q  ~p)  r]  [~r  (p  ~q)] 
f f f v v f f f v f f Fila 1 
f f f v f f v f v f f Fila 2 
v v f v v f f f v v v Fila 3 
v v f f f v v v v v v Fila 4 
f v v v v f f f f v f Fila 5 
f v v f f v v v f v f Fila 6 
v v v v v f f f f v v Fila 7 
v v v f f v v v f v v Fila 8 
 (a) (c) C.F (d) (b) 
 
NOTA: La columna final SIEMPRE, será el condicional asociado a la implicación 
lógica de estudio. 
 
Finalmente, como se puede observar la columna final (C.F) contiene ambos 
valores de verdad (verdaderos y falsos). Por lo tanto se concluye que: “Por ser 
una CONTINGENCIA, P no implica lógicamente a Q”. 
 
 
2. Dadas las siguientes formas proposicionales: 
 
R: )](~[ tsr  y S: )]()[(~ trts  
 
Determine, utilizando el criterio del condicional tautológico si SR. 
 
 
 
 
Solución: 
 
Lo que nos pide el ejercicio es determinar si “S implica lógicamente a R” (S
R). Es decir: 
)](~[)]()[(~ tsrtrts  
 
NÓTESE QUE DEBE RESPETARSE EL ORDEN EN EL QUE SE PIDEN LAS 
PROPOSICIONES PARA ARMAR LA IMPLICACIÓN LÓGICA (EN ESTE CASO 
ES DESDE “S” HACIA “R”) 
 
Ahora, al igual que en los ejercicios anteriores, utilizaremos una tabla de verdad 
cambiando la implicación lógica “ ” por un condicional , tal como establece 
el criterio del condicional tautológico así: 
 
)](~[)]()[(~ tsrtrts  
 
Seguidamente, planteamos y resolvemos la tabla de verdad correspondiente: 
 
[(~s  t)  (r  t)]  [r  ~ (s  t)] 
f v v v v v v v v v f v v v Fila 1 
f v f f v f f v v v v v f f Fila 2 
v v v v v v v v v v v f f v Fila 3 
v f f f v f f v v v v f f f Fila 4 
f v v f f f v v f f f v v v Fila 5 
f v f v f v f v f v v v f f Fila 6 
v v v f f f v v f v v f f v Fila 7 
v f f f f v f v f v v f f f Fila 8 
(a) (d) (b) C.F. (e) (c.1*) (c) 
 
Nota: Observen que acá el orden de las variables es: “r”, “s” y “t”. Cuestión 
que debe ser tomada en cuenta para colocar los valores de verdad en la 
tabla. 
 
NOTA: Al igual que en el ejercicio anterior la columna final SIEMPRE, será el 
bicondicional asociado a la equivalencia lógica de estudio. 
 
Finalmente, como se puede observar TODA la columna final (C.F) es verdadera, 
por lo tanto se concluye que: “Por ser una TAUTOLOGÍA,S implica 
lógicamente a R (SR)” 
 
 
Ejercicios Propuestos: 
 
Dadas las siguientes formas proposicionales, determine utilizando el criterio 
correspondiente (condicional o bicondicional tautológico), si se cumplen o 
no las equivalencias o implicaciones lógicas solicitadas: 
 
 
1. P: )]~(~~[~ rpq  y Q: ]~)~[( qrp  
 
a. PQ 
b. PQ 
c. QP 
 
2. P: )]~()~([~ prqp  y Q: )](~[ qpr  
 
a. PQ 
b. PQ 
c. QP 
 
3. P: )]~(~[~ rpq  y Q: ]~)([~ rqp  
 
a. QP 
b. PQ 
c. QP 
 
4. R: )]()([~ rtsr  y S: )]()[(~ trrs  
 
a. RS 
b. RS 
c. SR 
 
5. S: )](~)([~ srsp  y T: )]~()~[( sprs  
 
a. TS 
b. ST 
c. TS 
 
 
 
 
 
6. S: )]~(~[ sqt  y R: )](~)~[( sqts  
 
d. SR 
e. SR 
f. RS 
 
 
7. ]}~)~[({)]}([)~({~ pqrpprqqp  
 
8. ]}~)~[({)]}([)~({~ pqrpprqqp  
 
9. )]}~()~({[~)]}~()[({~ tqpqqpqt  
 
10. )]}~()~({[~)]}~()[({~ tqpqqpqt  
 
11. ]}~)~[({)]}(~)({[~ qpsqqpsq  
 
12. ]}~)~[({)]}(~)({[~ qpsqqpsq 