Ejercicios resueltos AM1- Derivabilidad y Continuidad

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1 Derivabilidad y continuidad
1. Analizar si la función f de�nida por f(x) = 3
p
jxj+ x es derivable en
x0 = 0:
Solución:
En primer lugar rede�nimos la función f; tal como se muestra
f(x) =
�
3
p
2x ; x � 0
0 ; x < 0
Para que f sea derivable en x0 = 0 es necesario y su�ciente que f 0�(0) =
f 0+(0):
f 0�(0) = lim
h!0�
f(0 + h)� f(0)
h
= lim
h!0�
0� 0
h
= 0
f 0+(0) = lim
h!0+
f(0 + h)� f(0)
h
= lim
h!0+
3
p
2h
h
= +1
Observe que f 0+(0) no existe. En consecuencia, la función f no es derivable
en x0 = 0:
2. Halle los valores de a y b para que f sea diferenciable en x = 1:
f(x) =
8<: �
p
x+ 3 + a ; �3 < x < 1
(x� 1)2 + bx ; x � 1
Solución:
Si f diferenciable en x = 1; entonces f continuidad en dicho número. Es
decir
lim
x!1+
f(x) = lim
x!1�
f(x) = f(1)) b = a� 2
Además f 0(1) existe , f 0�(1) = f 0+(1): Entonces
f 0�(1) = lim
h!0
p
(h+ 1) + 3 + a� b
h
= lim
h!0
p
(h+ 1) + 3 + a� a+ 2
h
= lim
h!0
p
h+ 4 + 2
h
= �1
4
f 0+(1) = lim
h!0
(1 + h� 1)2 + b(h+ 1)� b
h
= lim
h!0
h2 + bh
h
= b
Luego, igualando las derivadas laterales, obtenemos
b =
�1
4
^ a = 7
4
1
3. Dada la función
f(x) =
8><>:
2m
x2 + 1
; x < 1
3 ; x = 1
n
p
x� px2 ; x > 1
Hallar los valores de "p" , "n" y "m" para que f 0(1) exista.
Solución:
Siendo f diferenciable en x = 1; implica continuidad en dicho número. Es
decir
lim
x!1+
f(x) = lim
x!1�
f(x) = f(1)) n� p = 3 = m (1)
Es decir m = 3:
Sabemos que f 0(1) existe , f 0�(1) = f 0+(1): Entonces
f 0�(1) = lim
h!0
2m
(1+h)2+1 �m
h
= lim
h!0
�2m�mh
(h2 + 2h+ 2)
= �m
f 0+(1) = lim
h!0
n
p
x+ h� p (x+ h)2
h
=
n
2
� 2p
Luego, igualando las derivadas laterales, obtenemos
4p� 2m = n) 4p� 6 = n (2)
Resolvemos el sisitema que nos proporcionan las relaciones (1) y (2):
n� p = 3
4p� 6 = n
Cuya solución es n = 6 y p = 3.
4. Dada la función f de�nida por
f(x) =
8><>:
x� 3
x2 + 5
; �2 � x < 1
x2 � 19
p
x ; x � 1
Determine si la función es derivable en x = 1.
Solución:
Procedemos de acuerdo a lo que exige la de�nición de derivabilidad,
f 0�(1) = lim
h!0
1+h�3
(1+h)2+5
� 1�312+5
h
= lim
h!0
h�2
(1+h)2+5
+ 13
h
= lim
h!0
(h+5)h
3(h2+2h+6)
h
= lim
h!0
(h+ 5)h
3h (h2 + 2h+ 6)
=
5
18
2
f 0+(1) = lim
h!0
(h+ 1)
2 � 19
p
h+ 1�
�
12 � 19
p
1
�
h
= lim
h!0
h
(h+ 1)
2 � 1
i
�
�
1
9
p
h+ 1� 19
p
1
�
h
= lim
h!0
(h+ 1)
2 � 1
h
� lim
h!0
1
9
p
h+ 1� 19
p
1
h
= lim
h!0
h (h+ 2)
h
� lim
h!0
�p
h+ 1� 1
� �p
h+ 1 + 1
�
9
p
h+ 1 + 1
= lim
h!0
h (h+ 2)
h
� lim
h!0
h
9h
�p
h+ 1 + 1
� = �2� 1
18
=
35
18
:
Es claro que la función no es derivable en x = 1.
5. Sea g una función de�nida por
g(x) =
8<: ax+ 5 ; x < �2bx2 + cx ; �2 � x � 3
ax2 + bx ; x > 3
Hallar el valor de "a" , "b" y "c" de modo que g sea continua en x = �2
y derivable en x = 3:
Solución:
De acuerdo con la de�nición de continuidad en x = �2; tenemos
lim
x!�2�
g(x) = lim
x!�2+
g(x), �2a+5 = 4b�2c) �2a+5�4b+2c = 0 (3)
Para que la función g sea derivabilidad en x = 3; es necesario y su�ciente
que g0�(3) = g
0
+(3); luego
g0(x) =
8<: a ; x < �22bx+ c ; �2 � x � 3
2ax+ b ; x > 3
2b (3) + c = 2a (3) + b, 6b+ c = 6a+ b de donde 6a� 5b� c = 0:
(4)
Por otro lado, siendo f derivable en x = 3; también es continua en x = 3.
Esto implica que limx!3� g(x) = limx!3+ g(x); de donde
9b+ 3c = 9a+ 3b, 9a� 6b� 3c = 0: (5)
Plantemaos y resolvemos el sistema de ecuaciones formado por (3), (4) y
(5) :
�2a+ 5� 4b+ 2c = 0
6a� 5b� c = 0
9a� 6b� 3c = 0
obtenemos los valores buscados:
a =
5
4
, b =
5
4
y c =
5
4
:
3