Introducción a EDO

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IV. Introducción a EDO
Dpto. Académico de Matemática
UNALM
Ciclo: 2020 - II
Dpto. Académico de Matemática (UNALM) IV. Introducción a EDO Ciclo: 2020 -II 1 / 15
Las ecuaciones diferenciales es una rama muy importante de las matemáticas
debido a que sirven para hacer modelos apropiados para muchos experimen-
tos de la vida y fenómenos de la naturaleza en áreas como bioloǵıa, qúımica,
f́ısica, ingenieria, medicina, etc. Muchas de las leyes básicas de las disciplinas
mencionadas arriba son definidas en términos matemáticos que contienen
una función no conocida y sus derivadas.
Aqúı presentaremos algunas técnicas para encontrar soluciones de algunas
ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, tales soluciones son lla-
madas soluciones anaĺıticas.
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4.1 Definiciones - Clasificación - Solución
Definición
Una ecuación que contiene la derivada de una o más variables
dependientes con respecto a una o más variables independientes se llama
ecuación diferencial.
Clasificación según el tipo
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO).
Si una ecuación sólo contiene las derivadas ordinarias de una o más
variables dependientes con respecto a una sola variable independiente,
se dice que es una ecuación diferencial ordinaria.
Aśı por ejemplo, son ecuaciones diferenciales ordinarias:
dy
dx
+ 5y = e2x ,
d2y
dx2
− dy
dx
− 8y = 0, y ′′ − 3y ′ + 4y = 0
Ecuaciones diferenciales parciales (EDP)
Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más
variables dependientes, respecto de dos o más variable
independientes, se llama ecuación en derivadas pariales.
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Clasificación según el orden y grado
El orden de una ecuación diferencial. Es el orden de la mayor derivada
que aparece en la ecuación. Aśı por ejemplo,
d2y
dx2
− 3
(
dy
dx
)5
+ 5y = e−x
2
es una EDO de segundo orden.
El grado de una ecuación diferencial. Es la potencia a la que está elevada
la derivada más alta, siempre y cuando la ecuación diferencial esté dada en
forma polinomial. Aśı por ejemplo,(
d4y
dx4
)2
− 3
(
d2y
dx2
)5
+
(
dy
dx
)7
= 2x3 + 1
es una EDO de cuarto orden y segundo grado.
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Una ecuación diferencial ordinaria general de orden n se suele escribir en su
forma impĺıcita mediante los śımbolos
F
(
x , y , y ′, · · · , y (n)
)
= 0.
Si en la ecuación dada es posible despejar y (n), se escribe en forma expĺıcita
como
y (n) = f
(
x , y , y ′, · · · , y (n−1)
)
.
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Clasificación según la linealidad o no linealidad
A una ecuación diferencial de la forma y (n) = f
(
x , y , y ′, · · · , y (n−1)
)
se dice
que es lineal cuando f es una función lineal de y , y ′, · · · , y (n−1). Es decir,
una ecuación es lineal si se puede escribir en la forma
an (x)
dny
dxn
+ an−1 (x)
d (n−1)y
dxn−1
+ · · ·+ a1 (x)
dy
dx
+ a0 (x) y = g (x) .
Aśı por ejemplo,
(x − 2y) dx − 2xdy = 0, 2y ′′ + 5y ′ + y = 0, ex d
3y
dx3
+
dy
dx
− 2y =
√
x
son ecuaciones lineales ordinarias de primero, segundo y tercer orden.
Cuando una ecuación es no lineal, se dice que es no lineal. Aśı por ejemplo,
yy ′ − 2y = x2, 2y ′′ + cos y = 0, d
4y
dx4
+
1
2y
= 0
son ecuaciones no lineales.
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Solución de una EDO
Definición
Llamamos solución de una EDO a toda función y = ϕ (x) definida en
algún intervalo I , que satisface dicha ecuación diferencial.
Aśı por ejemplo, la función y = xex es una solución de la ecuación diferencial
y ′′ − 2y ′ + y = 0.
Definición
Si toda solución de una ecuación F
(
x , y , y ′, · · · , y (n)
)
= 0 en un
inertvalo I , se puede obtener partiendo de una familia
G (x , y , c1, c2, · · · , cn) = 0 con valores adecuados de los parámetros ci
(i = 1, · · · , n) se dice que la familia es la solución general.
Definición
Llamamos solución particular de la ecuación diferencial a cualquier función
que la satisfaga, fijando el valor de las constantes en la familia de
funciones solución de la ecuación.
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Ejemplo
La familia
x3
3
− y + C = 0, C ∈ R es solución general de la ecuación
diferencial y ′ − x2 = 0.
Ejemplo
Verifique que la función ϕ (x) = x
√
x + 2 es una solución de la ecuación
diferencial
2 (x + 2)
d2y
dx2
− dy
dx
− 2
x (x + 2)
y = 0.
Además, determine el intervalo sobre los cuales es solución.
Solución.
Tenemos: y = ϕ (x) = x
√
x + 2 , Dom (ϕ) = [−2,∞〉 .
Calculando las derivadas ϕ′, ϕ′′ y luego reemplazando en la ecuación difer-
encial dada se comprueba efectivamente la igualdad. Por tanto, es solución
y el intervalo en la cual es solución es: 〈−2, 0〉 ∪ 〈0,+∞〉 .
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4.2 Tipos de ecuaciones diferenciales y su solución
4.2.1 EDO de primer orden de variables separables
Una ecuación diferencial de la forma
dy
dx
= f (x , y) (1)
es de variables separables si el segundo miembro de (1) se puede expresar
como el producto de dos funciones en la que una depende sólamente de x
y la otra de y . Es decir,
dy
dx
= g (x) h (y) .
De donde por integración obtenemos la solución. Esto es,∫
p (y) dy =
∫
g (x) dx
H (y) = G (x) + C Solución general de (1),
donde H (y) y G (x) son las antiderivadas de p (y) y g (x) respectivamente
y C es una constante arbitraria.
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Ejemplo
Resuelva (2 + x) dy − ydx = 0.
Solución.
Dividiendo por (2 + x) y podemos escribir
1
y
dy =
1
(2 + x)
dx ,
del cual se sigue que ∫
1
y
dy =
∫
1
(2 + x)
dx
ln |y | = ln |2 + x |+ c1.
Ahora, usando las propiedades de logaritmo y valor absoluto, escribimos
y = ±ec1 (2 + x) .
Si llamamos ±ec1 = C , entonces y = C (2 + x) .
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Ejemplo
Resuelva el problema de valor inicial:
(
e2y − y
)
cos x
dy
dx
= ey sen2x ,
y (0) = 0.
Solución.
Dividiendo la ecuación por ey cos x resulta(
e2y − y
)
ey
dy =
sen2x
cos x
dx .
Integrando tenemos
ey + ye−y + e−y = −2 cos x + C .
La condición inicial y (0) = 0 implica que C = 4. Aśı, la solución particular
del problema es
ey + ye−y + e−y + 2 cos x − 4 = 0.
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EDO de primer orden reducibles a variables separables
La ecuación diferencial de la forma
dy
dx
= f (ax + by + c) , b 6= 0
se reduce a una ecuación diferencial de variables separables con la sustitución
z = ax + by + c . Esto es,
dz
dx
= bf (z) + a.
La ecuación diferencial de la forma
dy
dx
= g
(y
x
)
se reduce a una ecuación diferencial de variables separables con la sustitución
y = ux .
A continuación tenemos los siguientes ejemplos.
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Ejemplo
Resuelva
dy
dx
= (4x − y + 7)2 .
Solución. Haciendo z = 4x − y + 7, tenemos dz
dx
= 4− dy
dx
. Lo que implica
que
dz
dx
= 4− z2. De donde, tenemos:∫
1
z2 − 4
dz =
∫
−dx
1
4
ln
∣∣∣∣z − 2z + 2
∣∣∣∣ = −x + C
y = 4x + 9− 4
1− Ce−4x
.
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Ejemplo
Resuelva xy ′ = (y − x)3 + y .
Solución.
Expresando en la forma
y ′ =
x3 (y/x − 1)3
x
+ y/x ,
y luego haciendo y = ux la ecuación se reduce a
u + xu′ = x2 (u − 1)3 + u.
De donde separando variables integramos. Esto es,∫
(u − 1)−3 du =
∫
xdx
− 12 (u − 1)2
=
x2
2
+ C
x2
(y − x)2
+
x2
2
+ C = 0.
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Ejercicios propuestos
Verifique que las funciones dadas son las soluciones generales de las ecua-
ciones diferenciales indicadas.
1 y =
√
x2 − Cx ,
(
x2 + y 2
)
dx − 2xydy = 0
2 x = yeCy+1, x (ln x − ln y) y ′ − y = 0
Resuelva las siguientes ecuaciones.
3 y ′x ln x = y
4
dy
dx
=
x2y 4 − y 4
1− y 4x + x − y 4
5 y(x + 1) + y ′ = 0, y (−2) = 1
6 y ′ =
1− x − y
x + y
7 y ′ = cos (x + y)
8 y ′ = 2 +
√
y − 2x + 3
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